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数值积分的实现:
(一)比较quad与quadl函数的差别
基于自适应辛普森方法:[I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)
基于自适应Gauss-Lobatto方法:[I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)
其中,filename是被积函数名;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限[a,b]必须是有限的,不能为无穷大(inf);tol用来控制积分精度,默认时取tol=10-6;trace控制是否展现积分过程,若取非0展现积分过程,取0则不展现,默认时取trace=0;返回参数I即定积分的值,n为被积函数的调用次数。
例:分别用quad函数和quadl函数求定积分的近似值,并在相同的积分精度下,比较被积函数的调用次数。
在命令行输入如下指令:
>> format long
>> f=@(x)4./(1+x.^2);
>> [I,n]=quad(f,0,1,1e-8)
I =
3.141592653733437
n =
61
>> [I,n]=quadl(f,0,1,1e-8)
I =
3.141592653589806
n =
48
可见,quadl的计算精度要高,而且计算次数更少。
(二)基于全局自适应积分方法
l=integral(filename,a,b)
其中,l是计算得到的积分;filename是被积函数;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限可以为无穷大 。
例:求定积分
首先定义函数:
function f = fe(x )
f=1./(x.*sqrt(1-log(x).^2));
end
然后在命令窗口输入
>> I=integral(@fe,1,exp(1))
I =
1.5708
(三)基于自适应高斯-克兰罗德方法
[I,err]=quadgk(filename,a,b)
其中,err返回近似误差范围,其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是无穷大(-inf或inf),也可以是复数。如果积分上下限是复数,则quadgk函数在复平面上求积分。
(四)trapz函数
trapz函数采用梯形积分法则,积分的近似值为:
其中hi=xi+1-xi。
可用以下语句实现:
sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)
例:设x=1:6,y=[6,8,11,7,5,2],用trapz函数计算定积分。
在M文件中编辑如下代码:
x=1:6;
y=[6,8,11,7,5,2];
plot(x,y,'-ko')
grid on
axis([1,6,0,11])
I1=trapz(x,y)
I2=sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)
得到结果:
I1 = 35
I2 = 35
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